Question

已知函数f（x）=mx³+（ax-1）（x-2）（x∈R）的图象在x=1处的切线与直线x+y=0平行．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）当a≥0时，解关于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

分析：（I）先对函数f（x）进行求导，又根据f'（1）=3m-1，可得到关于m的值；
（II）由（I）知f （x）=（ax-1）（x-2）．下面对字母a的取值情况进行分类讨论：当a=0时，f （x）=-（x-2）＞0，当a＞0时，再分：若

1

a

＜2；若

1

a

=2；若

1

a

＞2，分别求出原不等式的解集即可．

解答：解：（I）∵f （x）=mx³+ax²-（2a+1）x+2，∴f′（x）=3mx²+2ax-（2a+1）．
∴f'（1）=3m-1，
即函数f （x）的图象在x=1处的切线斜率为3m-1．
∴由题知3m-1=-1，解得m=0．…（5分）
（II）由（I）知f （x）=（ax-1）（x-2）．
当a=0时，f （x）=-（x-2）＞0，解得x＜2．…（7分）
当a＞0时，方程f （x）=0的两根为x₂=

1

a

，x₂=2．
若

1

a

＜2即a＞

1

2

时，原不等式的解为

1

a

＜x＜2；…（9分）
若

1

a

=2即a=

1

2

时，原不等式的解为∅；…（10分）
若

1

a

＞2即a＜

1

2

时，原不等式的解为2＜x＜

1

a

．…（11分）
∴综上所述，当a=0时，原不等式的解集为{x|x＜2}；
当0＜a＜

1

2

时，原不等式的解集为{x|

1

a

＜x＜2}；当a=

1

2

时，原不等式的解集为∅；
当a＞

1

2

时，原不等式的解集为{x|2＜x＜

1

a

}．…（12分）

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法的问题、利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．