题目内容

如图，在△ABC中， $数学公式$ ， $数学公式$ ，L为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，
（1）求 $数学公式$ 的值．
（2）判断 $数学公式$ 的值是否为一个常数，并说明理由．

解：法1：（1）由已知可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$ 的值为一个常数∵L为L为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，
∴ $\text{[math]}$ ，
故： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
解法2：（1）以D点为原点，BC所在直线为X轴，L所在直线为Y轴建立直角坐标系，可求A（ $\text{[math]}$ ），
此时 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
（2）设E点坐标为（0，y）（y≠0），
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （常数）．
分析：法一：（1）由题意及图形，可把向量 $\text{[math]}$ 用两个向量 $\text{[math]}$ 的表示出来，再利用数量积的公式求出数量积；
（2）将向量 $\text{[math]}$ 用 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 表示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；
法二：（1）由题意可以以BC所在直线为X轴，DE所在直线为Y轴建立坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义式求出 $\text{[math]}$ 的坐标表示，由向量的数量积公式求数量积；
（2）设E点坐标为（0，y）（y≠0），表示出向量 $\text{[math]}$ 的坐标再由向量的数量积坐标表示公式求数量积即可
点评：本题考查向量在几何中的应用，本题采用了二种解法，一是基向量法，一是向量的坐标表示，解题的关键是建立坐标系与设定其向量