Question

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，平面向量

m

=（2a+c，b）与平面向量

n

=（cosB，cosC）垂直．
（I）求角B：
（II）若a+2c=4，设△ABC的面积为S，求S的最大值．

Answer 1

分析：（I ）由

m

=(2a+c，b)与

n

=(cosB，cosC)垂直，可得（2a+c）cosB+bcosC=0，结合正弦定理可得2sinAcosB+sin（C+B）=0，再由三角形的内角和可得，2sinAcosB+sinA=0，从而可求cosB，进而可求B
（II）利用三角形的面积公式可得S=

1

2

acsinB=

3

4

ac利用基本不等式可求S的最值

解答：解：（I ）∵

m

=(2a+c，b)与

n

=(cosB，cosC)垂直
∴（2a+c）cosB+bcosC=0
∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∴（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0 即2sinAcosB+sin（C+B）=0
∵A+B+C=π∴B+C=π-A∴2sinAcosB+sinA=0
∵A是△ABC得内角∴sinA≠0∴cosB=-

1

2

∵B是ABC内角
∴B=

2π

3

（II）∵S=

1

2

acsinB=

3

4

ac
=

3

8

a×2c≤

3

8

(

a+2c

2

)2=

3

2

   当a=2c 时s=

3

2

，S的最大值为

3

2

点评：平面向量与三角函数的结合的试题中，向量一般都是转化的工具，然后利用三角函数的公式及性质进行求解，正弦定理与余弦定理是用来解三角形的常用工具，还考查了基本不等式在求最值中的应用．