Question

已知函数f（x）=ax³+bx²（x∈R）的图象过点P（-1，2），且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=mx³+

1

3

f′（x）-3x在（2，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f′（x）=3ax²+2bx
∴由题意有

f(-1)=-a+b=2 f/(-1)=3a-2b=-3

∴

a=1 b=3

∴f（x）=x³+3x²
（2）∵g′（x）=3mx²+2x-1，
∴依据题意：当x∈（2，+∞）时，3mx²+2x-1≤0恒成立；
即：3m≤

1-2x

x2

在x∈（2，+∞）时恒成立；令h(x)=

1-2x

x2

，
易求得h(x)=

1-2x

x2

在x∈（2，+∞）的最小值为-

3

4

∴a∈(-∞，-

1

4

]