题目内容

已知f（x）为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时，f（x）=1-
2
x
，
（1）求函数f（x）的解析式，
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）的单调性并用定义证明．
（1）设x＜0，则-x＞0，f（-x）=1+
2
x
，又∵f（x）为奇函数，
∴f（x）=-f（x）=-1-
2
x

∴f（x）=
1-
2
x
，   x＞0
-1-
2
x
，  x＜0 

（2）f（x）在（0，+∞）为单调增函数．
证明：任取0＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=1-
2
x1
-1+
2
x2
=
2
x2
-
2
x1
=
2(x1-x2)
x2x1

∵0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）为单调增函数．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）为定义在（-∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，则（　　）
A、f（2）＞e2f（0），f（2010）＞e2010f（0）B、f（2）＜e2f（0），f（2010）＞e2010f（0）C、f（2）＞e2f（0），f（2010）＜e2010f（0）D、f（2）＜e2f（0），f（2010）＜e2010f（0）
已知f（x）为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f（x+2）=-f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（2013）+f（-2014）的值为
1
1
．
已知f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f(x)=
2x2x+1
．
（1）证明函数f（x）在（0，1）是增函数
（2）求f（x）在（-1，1）上的解析式．
给出下列命题：
①f(x)=
4-x2
+
x2-4
既是奇函数，又是偶函数；
②f（x）=x和f(x)=
x2
x
为同一函数；
③已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
④函数y=
x
2x2+1
的值域为[-
2
4
，
2
4
]．
其中正确命题的序号是
①④
①④
．
已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x），则当x＜0时，有（　　）
A、f（x）=-x（1+x）B、f（x）=-x（1-x）C、f（x）=x（1-x）D、f（x）=x（x-1）

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