Question

已知定点，过点F且与直线相切的动圆圆心为点M，记点M的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）若点A的坐标为，与曲线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线于点S，T.试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.

Answer 1

（1）.（2）以线段为直径的圆恒过两个定点.

试题分析：（1）根据抛物线的定义可知，点的轨迹是以点为焦点, 为准线的抛物线.        
可得曲线的方程为.
（2）设点的坐标分别为，依题意得，.
由消去得，
应用韦达定理.
直线的斜率，
故直线的方程为.                  
令，得，
得到点的坐标为.点的坐标为.               
得到.
设线段的中点坐标为，
而
.     
故以线段为直径的圆的方程为.
令，得，解得或.           
确定得到以线段为直径的圆恒过两个定点.
（1）由题意, 点到点的距离等于它到直线的距离,
故点的轨迹是以点为焦点, 为准线的抛物线.        
∴曲线的方程为.                                  4分
（2）设点的坐标分别为，依题意得，.
由消去得，
∴.                                    6分 
直线的斜率，
故直线的方程为.                  
令，得，
∴点的坐标为.                   
同理可得点的坐标为.               
∴
.  
∴.            8分
设线段的中点坐标为，
则
.     
∴以线段为直径的圆的方程为.
展开得.                 11分        
令，得，解得或.           
∴以线段为直径的圆恒过两个定点.            13分