题目内容
已知椭圆C：x2+
=1，过点M（0，1）的直线l与椭圆C相交于两点A、B．
（Ⅰ）若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）设点N（0，
），求|
+
|的最大值．
| y2 |
| 4 |
（Ⅰ）若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）设点N（0，
| 1 |
| 2 |
| NA |
| NB |
分析：（Ⅰ）设A（x1，y1），因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，所以y1=-1，又因为点A（x1，y1）在椭圆C上，所以x1=±
，由此能求出直线l的方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则
=(x1，y1-
)，
=(x2，y2-
)，所以
+
=(x1+x2，y1+y2-1)，则|
+
| =
，由此进行分类讨论，能推导出当直线AB的方程为x=0或y=1时，|
+
|有最大值1．
| ||
| 2 |
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则
| NA |
| 1 |
| 2 |
| NB |
| 1 |
| 2 |
| NA |
| NB |
| NA |
| NB |
| (x1+ x2)2+(y1+y2-1)2 |
| NA |
| NB |
解答：（Ⅰ）解：设A（x1，y1），
因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，
所以
=0，解得y1=-1，（1分）
又因为点A（x1，y1）在椭圆C上，
所以x12+
=1，即x12+
=1，解得x1=±
，
则点A的坐标为（
，-1）或（-
，-1），
所以直线l的方程为4
x-3y+3=0，或4
x+3y-3=0．
（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
=(x1，y1-
)，
=(x2，y2-
)，
所以
+
=(x1+x2，y1+y2-1)，
则|
+
| =
，
当直线AB的斜率不存在时，
其方程为x=0，A（0，2），B（0，-2），此时|
+
|=1；
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+1，
由题设可得A、B的坐标是方程组
的解，
消去y得（4+k2）x2+2kx-3=0，
所以△=（2k）2+12（4+k2）＞0，x1+x2=
，
则y1+y2=(kx1+1)+(kx2+1)=
，
所以|
+
|2=(
)2+(
-1)2
=
+1≤1，
当k=0时，等号成立，即此时|
+
|取得最大值1．
综上，当直线AB的方程为x=0或y=1时，|
+
|有最大值1．
因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，
所以
| y1+1 |
| 2 |
又因为点A（x1，y1）在椭圆C上，
所以x12+
| y12 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| ||
| 2 |
则点A的坐标为（
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
所以直线l的方程为4
| 3 |
| 3 |
（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
| NA |
| 1 |
| 2 |
| NB |
| 1 |
| 2 |
所以
| NA |
| NB |
则|
| NA |
| NB |
| (x1+ x2)2+(y1+y2-1)2 |
当直线AB的斜率不存在时，
其方程为x=0，A（0，2），B（0，-2），此时|
| NA |
| NB |
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+1，
由题设可得A、B的坐标是方程组
|
消去y得（4+k2）x2+2kx-3=0，
所以△=（2k）2+12（4+k2）＞0，x1+x2=
| -2k |
| 4+k2 |
则y1+y2=(kx1+1)+(kx2+1)=
| 8 |
| 4+k2 |
所以|
| NA |
| NB |
| -2k |
| 4+k2 |
| 8 |
| 4+k2 |
=
| -12k2 |
| (4+ k2)2 |
当k=0时，等号成立，即此时|
| NA |
| NB |
综上，当直线AB的方程为x=0或y=1时，|
| NA |
| NB |
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的灵活运用．
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