Question

已知函数f(x)定义在区间(－1，1)上，f()＝－1，且当x，y∈(－1，1)时，恒有f(x)－f(y)＝f()，又数列{a_n}满足a₁＝，a_n+1＝，设b_n＝．

(1)证明：f(x)在(－1，1)上为奇函数；

(2)求f(a_n)的表达式；

(3)是否存在正整数m，使得对任意n∈N，都有b_n＜成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)令x＝y＝0，则f(0)＝0，再令x＝0，得f(0)－f(y)＝f(－y)， 　　∴f(－y)＝－f(y)，y∈(－1，1)，∴f(x)在(－1，1)上为奇函数．　4分 　　(2) 　　，即．∴{f(an)}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f(an)＝－2n－1．　10分 　　(3)． 　　若恒成立(n∈N＋)，则 　　∵n∈N＋，∴当n＝1时，有最大值4，故m＞4．又∵m∈N，∴存在m＝5，使得对任意n∈N+，有．　16分