Question

已知函数f(x)定义在区间(-1，1)上，f()=-1，且当x，y∈(-1，1)时，恒有f(x)-f(y)=f()，又数列{a_n}满足a₁=，a_n+1=，设b_n=.

(Ⅰ)证明：f(x)在(-1，1)上为奇函数；

(Ⅱ)求f(a_n)的表达式；

(Ⅲ)是否存在自然数m，使得对任意n∈N，都有b_n＜成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

答案：解：(1)令x=y=0，则f(0)=0，再令x=0，得f(0)-f(y)=f(-y)，所以f(-y)=-f(y)，y∈(-1，1)，故f(x)在(-1，1)上为奇函数.

(Ⅱ)∵f(a₁)=f()=-1，

由(Ⅰ)知f(x)+f(y)=f()，

∴f(a_n+1)=f()=f()=f(a_n)+f(a_n)=2f(a_n)，

即=2，∴{f(a_n)}是以-1为首项，2为公比的等比数列，从而有f(a_n)=-2^n-1.

(10)先求b_n的表达式，b_n=-(1+

若b_n＜恒成立(n∈N₊)，则-2+-2，即m＞

∵n∈N₊，∴当n=1时，有最大值4，故m＞4.

又∵m∈N，

∴存在m=5，使得对任意n∈N₊，都有b_n＜成立.