Question

【题目】已知椭圆C： 的长轴长为4，焦距为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过动点M（0，m）（m>0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.

（i）设直线PM、QM的斜率分别为k、，证明为定值.

（ii）求直线AB的斜率的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)(i)证明见解析；(ii) .

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由题意可得，椭圆C的方程为.

（Ⅱ）（i）设，由题意可得，结合斜率公式可得PM的斜率，QM的斜率，故为定值－3.

（ii）设，直线PA的方程为，与椭圆方程联立可得.则， ，同理，故.结合均值不等式的结论可得当且仅当时，直线AB的斜率有最小值为.

试题解析：

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，

由题意知，

所以，

所以椭圆C的方程为.

（Ⅱ）（i）设，

由，可得，

所以直线PM的斜率，

直线QM的斜率，

此时，所以为定值－3.

（ii）设，

直线PA的方程为，

直线QB的方程为，

联立，

整理得.

由可得，

所以，

同理，

所以，

，

所以.

由，可知，

所以，等号当且仅当时取得，

此时，即，符合题意，

所以直线AB的斜率的最小值为.