Question

已知在数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，且S_n+1=4a_n+2（n=1，2，.…），a₁=1。
（1）设b_n=a_n+1-2a_n（n=1，2，…），求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）设，求证：数列{c_n}是等差数列。

Answer 1

证明：（1）∵S_n+1=4a_n+2，
∴S_n+2=4a_n+1+2，两式相减，
得S_n+2-S_n+1=4a_n+1-4a_n（n=1，2，3…），
即a_n+2=4a_n+1-4a_n，
变形得a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
∵b_n=a_n+1-2a_n（n=1，2，…），
∴b_n+1=2b_n，
由S₂=a₁+a₂=4a₁+2，a₁=1，
得a₂=5，b₁=a₂-2a₁=3，
由此可知，数列{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列，故b_n=3·2^n-1；
（2）∵
∴
将b_n=3·2^n-1代入得
由此可知，数列{c_n}是公差为的等差数列，
它的首项c₁，
故。