Question

已知函数f（x）=2cos2x+

3

sin2x+a（a∈R）．
（1）若x∈R，求f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为4，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式，两角差的正弦化简函数f（x）为一个角的一个三角函数的形式，求f （x）的单调递增区间；
（2）x∈[0，

π

2

]，推出

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，利用f（x）的最大值为4，求a的值．

解答：解：（1）f （x）=

3

sin2x+cos2x+a+1=2sin(2x+

π

6

)+a+1
解不等式2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）
∴f （x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

．（k∈Z）．
（2）若0≤x≤

π

2

，
则

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
则当2x+

π

6

=

π

2

，
即x=时，f （x）取得最大值．
∴a+3=4，a=1．

点评：本题考查正弦函数的单调性，三角函数的最值，考查计算能力，是中档题．