题目内容
如图，四边形ABCD是矩形，AD=2，DC=1，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC，EC=1．点F在线段BE上，且DE∥平面ACF（I）求证：平面AEC⊥平面ABE；
（Ⅱ）求
| BF | BE |
（Ⅲ）求二面角A-FC-B的余弦值．
分析：（I）以E为原点，EC，EB方向为x，y轴方向，过E垂直于平面BEC的垂线方向为z轴方向建立空间直角坐标系，求出平面AEC的法向量，取平面ABE的法向量，利用数量积运算证明两法向量垂直即可；
（Ⅱ）求出平面ACF的法向量
，由DE∥平面ACF，得
•
=0，从而可得b值，故而得答案；
（Ⅲ）转化为求两平面法向量夹角的余弦值，平面BFC的法向量易求，由（Ⅱ）可得平面AFC的法向量，注意该二面角为锐角；
（Ⅱ）求出平面ACF的法向量
| m1 |
| DE |
| m1 |
（Ⅲ）转化为求两平面法向量夹角的余弦值，平面BFC的法向量易求，由（Ⅱ）可得平面AFC的法向量，注意该二面角为锐角；
解答：（Ⅰ）证明：以E为原点，EC，EB方向为x，y轴方向，过E垂直于平面BEC的垂线方向为z轴方向建立空间直角坐标系，
在直角△BEC中，可得BE=
，
故C（1，0，0），B（0，
，0），A（0，
，1），D（1，0，1），
设F（0，b，0），
=（0，
，1），
=（1，0，0），
设平面AEC的法向量为
=（x，y，z），
由
，可取
=（0，-1，
），
取平面ABE的法向量为
=（1，0，0），故
•
=0，
所以平面AEC⊥平面ABE；
解：（Ⅱ）
=（-1，b，0），
=（1，-
，-1），
设平面ACF的法向量为
=（x，y，z），
由
，可取
=(-b，-1，
-b)，
由
=（1，0，1），且DE∥平面ACF，
故
•
=0，可得b=
，所以
=
；
（Ⅲ）取平面BFC的法向量为
=（0，0，1），
由（Ⅱ）知，可取
=(-
，-1，
)，
cos＜
，
＞=
=
=
，
所以二面角A-FC-B的余弦值为
．
在直角△BEC中，可得BE=
| 3 |
故C（1，0，0），B（0，
| 3 |
| 3 |
设F（0，b，0），
| EA |
| 3 |
| EC |
设平面AEC的法向量为
| n1 |
由
|
| n1 |
| 3 |
取平面ABE的法向量为
| n2 |
| n1 |
| n2 |
所以平面AEC⊥平面ABE；
解：（Ⅱ）
| CF |
| AC |
| 3 |
设平面ACF的法向量为
| m1 |
由
|
| m1 |
| 3 |
由
| ED |
故
| DE |
| m1 |
| ||
| 2 |
| BF |
| BE |
| 1 |
| 2 |
（Ⅲ）取平面BFC的法向量为
| m2 |
由（Ⅱ）知，可取
| m1 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
cos＜
| m1 |
| m2 |
| ||||
|
|
| ||||
|
| ||
| 10 |
所以二面角A-FC-B的余弦值为
| ||
| 10 |
点评：本题考查利用空间向量求二面角、判定线面平行及面面垂直，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力．
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