题目内容
【题目】已知抛物线
的焦点为
，过焦点且斜率存在的直线
与抛物线
交于
两点，且
点在
点上方，
点与点关于
轴对称.
(1)求证：直线
过某一定点
；
(2)当直线的斜率为正数时，若以
为直径的圆过
，求
的内切圆与
的外接圆的半径之比.
【答案】（1）定点
；（2）
【解析】
(1)设出BD直线方程和B、D两点坐标，联立直线方程与抛物线方程，得到关于纵坐标的表达式，然后求出直线
方程，继而得到定点
(2)求出BD、
的直线方程，由点到直线距离相等求出
内切圆半径
，然后求出
的外接圆半径
，得到结果
(1)设BD：
，
联立
消x得
∴
恒正，
∴
即
令
，得
∴定点Q
(2)由题
=
=
∴
即得
(舍)
∴BD：
由题，的内心必在x轴上，设内心
∴
由I到直线BQ与到直线BD的距离相等得
，∴
，内心
∴内切圆半径
由对称性，
的外心应在x轴上，设外心
BD中垂线方程为
，得
联立
得
∴的外接圆半径
∴ 
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