Question

【题目】已知，，若动点满足：.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，且，请问在曲线上是否存在点，使得四边形（为坐标原点）为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在，见解析。

【解析】

（1）根据椭圆的定义，由，知动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，然后再求方程.

（2）根据题意，设且，直线AB的方程，与椭圆方程联立得 ， ，假设存在点使得四边形（为坐标原点）为平行四边形，则 ，即，将，代入椭圆方程验证.

（1）因为，

所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆.

所以 ，

所以动点的轨迹的方程是 .

（2）根据题意，设，且

直线的方程 ，

与椭圆方程联立得 ，

，

假设存在点使得四边形（为坐标原点）为平行四边形，

则 ，

所以，

所以.

即，方程无解，所以不存在.