Question

选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度．已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+2sinθ=0，曲线C的参数方程为

x=4cosα y=2sinα

（α为参数）．
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意直接根据极坐标方程与直角坐标方程的互化规则及参数方程与直角坐标方程互化的规则即可得到直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）联立直线l与曲线C的方程，解出A、B两点的坐标，再由两点间距离公式求出线段AB的长．

解答：解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为ρcosθ+2sinθ=0，曲线C的参数方程为

x=4cosα y=2sinα

（α为参数）．
∴直线l的直角坐标方程为x+2y=0，曲线C的普通方程为

x2

16

+

y2

4

=1（5分）
（Ⅱ）联立方程组

x+2y=0 x2 16 + y2 4 =1

解得交点A，B的坐标分别为（-2

2

，

2

）和（2

2

，-

2

），
∴|AB|=

(4 2 )2+(2 2 )2

=2

10

（10分）

点评：本题考查圆的参数方程及简单曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，解题的关键是熟练掌握互化的规则