Question

已知函数f(x)=

4

x

+9x，
（1）若x＞0，求f（x）的最小值及此时的x值．
（2）若x∈(0，

2

5

]，求f（x）的最小值及此时的x值．

Answer 1

分析：（1）可以利用定义去判断函数的单调性，或者使用基本不等式求函数的最小值，（2）利用定义判断函数在x∈(0，

2

5

]上的单调性，然后求出最小值．

解答：解：（1）因为x＞0，所以由基本不等式得f(x)=

4

x

+9x≥2

4 x ?9x

=12，
当且仅当

4

x

=9x，即x2=

4

9

，x=

2

3

时取等号，
所以当x=

2

3

时，函数f（x）有最小值12．
（2）设0＜x1＜x2≤

2

5

，则f(x1)-f(x2)=

4

x1

+9x1-(

4

x2

+9x2)

4(x2-x1)

x1x2

+9(x1-x2)=(x1-x2)

9x1x2-4

x1x2

，
因为0＜x1＜x2≤

2

5

，所以x₁-x₂0．
所以f（x₁）＞f（x₂），即函数在x∈(0，

2

5

]上为减函数．
所以当x=

2

5

时，函数的最小值为f(x)min=f(

2

5

)=

68

5

．

点评：本题考查了利用定义证明和判断函数的单调性以及利用单调性求函数最值．