Question

如图，四边形ABCD是矩形，BC⊥平面ABEF，四边形ABEF是梯形∠EFA＝∠FAB＝90°，EF＝FA＝AD＝1，点M是DF的中点，CM＝．

(Ⅰ)求证：BF∥平面AMC；

(Ⅱ)求二面角B－AC－E的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：连结，交于点，∴点是的中点． 　　∵点是的中点，∴是的中位线．∴ 　　∵平面，平面，∴平面．5分 　　(Ⅱ)解：四边形是梯形，， 　　又四边形是矩形，，又， 　　又，．在中，，由可求得；6分 　　以为原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系．7分 　　∴，，，， 　　∴＝(0，2，1)，＝(1，1，0)，＝(1，0，0)．设平面的法向量＝(x，y，z)， 　　∴·＝0，·＝0．∴令，则，． 　　∴＝(1，－1，2)．又是平面的法向量， 　　∴如图所示，二面角B－AC－E为锐角． 　　∴二面角的余弦值是；13分