Question

已知△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4．
（I）一只蚂蚁在BC边上爬行，求蚂蚁到顶点B的距离小于1的概率．
（Ⅱ）若蚂蚁在三角形内部爬行，求蚂蚁到三角形三个顶点的距离均大于1的概率．

Answer 1

分析：（I）本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出蚂蚁距离三角形的顶点B的距离均超过1时对应线段的长度，并将它同BC长一齐代入几何概型的计算公式，进行求解．
（II）先画示意图，在△ABC中利用三角形面积求得三角形的面积，再求出图中阴影部分的面积，最后利用几何概型即可救是本题中蚂蚁恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率．

解答：解：（Ⅰ）记A=“蚂蚁到顶点B的距离小于1”，Ω=“蚂蚁在BC边上爬行”，
根据几何概型计算公式 P(A)=

1

3

，
∴蚂蚁到顶点B的距离小于1的概率是

1

3

…（2分）
（Ⅱ）画示意图，如图．
试验的全部结果为一个ABC区域．S_Ω=6，
图中非阴影部分的面积为三角形ABC的面积减去半径为1的半圆的面积即S_M=6-

π

4

-

π

4

=6-

π

2

，
根据几何概型计算公式P(M)=

SM

SΩ

=

6- π 2

6

=1-

π

12

∴蚂蚁到三角形三个顶点的距离均大于1的概率为1-

π

12

…（4分）

点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=N（A）/A求解．