Question

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n，n为奇数 an-2n，n为偶数

，且b_n=a_2n-2，n∈N*
（1）求a₂，a₃，a₄．
（2）求证数列{b_n}是以

1

2

为公比的等比数列，并求其通项公式．
（3）设（

3

4

）ⁿ•C_n=-nb_n，记S_n=C₁+C₂+…+C_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）把n=1，2，3，4分别代入递推公式可得
（2）要证数列{b_n}为等比数列?

bn

bn-1

=q≠0，而

bn+1

bn

=

a2n+2-2

a2n-2

，利用已知的递推关系代入可证．
（3）结合（2）可得c_n=n•(

2

3

)n，适合用“乘公比错位相减”求和

解答：解：（1）当a2=

3

2

，a3=-

5

2

，a4=

7

4

，
（2）

bn+1

bn

=

a2n+2-2

a2n-2

=

1 2 a2n+1+2n+1-2

a2n-2

=

1 2 (a2n-4n)+2n-1

a2n-2

=

1 2 a2n-1

a2n-2

=

1

2

又b1=a2-2=-

1

2

，∴数列{b_n}是公等比为

1

2

的等比数列，且bn=(-

1

2

)×(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n

（3）由（2）得(

3

4

)n•Cn=n•(

1

2

)n，∴Cn=n(

2

3

)n．
令Sn=C1+C2++Cn=

2

3

+2×(

2

3

)2+3×(

2

3

)3++n×(

2

3

)n．①
∴

2

3

Sn=(

2

3

)2+2×(

2

3

)3++(n-1)×(

2

3

)n+n×(

1

2

)n+1=(

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

)-n(

2

3

)n+1=2[1-(

2

3

)n]-n(

2

3

)n+1
∴Sn=6[1-(

2

3

)n]-3n(

2

3

)n+1=6-(

2

3

)n(6+2n)

点评：本题考查了数列的递推公式的运用、利用定义法证明等比数列：要证数列{b_n}为等比数列?

bn

bn-1

=q≠0，数列求和的“乘公比错位相减”方法的运用．