Question

已知椭圆C的焦点在x轴上，一个顶点的坐标是（0，1），离心率等于．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若，，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意知b=1，，由此能够导出椭圆C的方程．
（Ⅱ）方法一：设A，B，M点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得λ₁²+10λ₁+5-5y²=0．由得λ₂²+10λ₂+5-5y²=0．λ₁，λ₂是方程x²+10x+5-5y²=0的两个根，∴λ₁+λ₂=-10．
方法二：设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-2）．将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0．然后利用根与系数的关系证明λ₁+λ₂为定值．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为，
则由题意知b=1．∴．
即．∴a²=5．
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）方法一：设A，B，M点的坐标分别为
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y），
又易知F点的坐标为（2，0）．
∵，∴（x₁，y₁-y）=λ₁（2-x₁，-y₁）．
∴，．
将A点坐标代入到椭圆方程中得：，
去分母整理，得λ₁²+10λ₁+5-5y²=0．
同理，由可得：λ₂²+10λ₂+5-5y²=0．
∴λ₁，λ₂是方程x²+10x+5-5y²=0的两个根，
∴λ₁+λ₂=-10．
方法二：设A，B，M点的坐标分别为A
（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y），
又易知F点的坐标为（2，0）．
显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程是y=k（x-2）．
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，
消去y并整理得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0．
∴，．
又∵，，
将各点坐标代入得，．
．
点评：本题是椭圆性质的综合应用题，解题时要注意公式的合理选取和灵活运用．