题目内容
已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数）．
（Ⅰ）若f（-1）=0，x∈R，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的表达式；
（Ⅱ）设a=1，记f（x）在（-∞，0]的最小值为g（b），求g（b）．
解：（I）依题有
．
∴f（x）=x2+2x+1（6分）
（II）
（8分）
当
即b≥0时，
；
当
即b＜0时，fmin（x）=f（0）=1
综上述f（x）在（-∞，0]上的最小值为
（12分）
分析：（I）由f（-1）=0，确定a，b的一个关系，再由函数f（x）的值域为[0，+∞），在轴处取得0，再得到a，b的一个关系，列方程组求得a，b．
（II）将a=1代入，并将函数转化找到其对称轴，再按照二次函数最值的研究方法讨论．
点评：本题主要考查解析式的求法和二次函数最值的求法．
．∴f（x）=x2+2x+1（6分）
（II）
（8分）当
即b≥0时，；当
即b＜0时，fmin（x）=f（0）=1综上述f（x）在（-∞，0]上的最小值为
（12分）分析：（I）由f（-1）=0，确定a，b的一个关系，再由函数f（x）的值域为[0，+∞），在轴处取得0，再得到a，b的一个关系，列方程组求得a，b．
（II）将a=1代入，并将函数转化
找到其对称轴，再按照二次函数最值的研究方法讨论．点评：本题主要考查解析式的求法和二次函数最值的求法．
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