Question

设（1+x+y）^x的展开式的不含x项的系数和为a_x，则

lim

x→∞

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)=______．

Answer 1

（1+x+y）^x=[（1+y）+x]^x，其展开式的通项为T_r+1=C_x^r•（1+y）^x-r•x^r，
不含x的项为（1+y）^x，令y=1，可得不含x项的系数和为2^x，即a_x=2^x，
则

1

ax

=（

1

2

）^x，则{

1

ax

}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列，
则

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1 2 (1- 1 2 n)

1- 1 2

=（1-

1

2

ⁿ），
则

lim

x→∞

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)=

lim

x→∞

（1-

1

2

ⁿ）=1；
故答案为1．