Question

已知函数f（x）=log_ax，g（x）=x，h（x）=a^x．
（1）若a=2，设m（x）=h（x）-g（x），n（x）=g（x）-f（x），当x＞1时，试比较m（x）与n（x）的大小（只需要写出结果，不必证明）；
（2）若a=

1

2

，设P是函数g（x）图象在第一象限上的一个动点，过点P作平行于x轴的直线
与函数h（x）和f（x）的图象分别交于A、B两点，过点P作平行于y轴的直线与函数h（x）和f（x）的图象分别交于C、D两点，求证：|AB|=|CD|．

Answer 1

分析：（1）大小关系：m（x）＞n（x）．
（2）设P（t，t），（t＞0），分别求出A、B、C、D坐标，再利用两点距离公式计算证明．

解答：解：（1）大小关系：m（x）＞n（x）
（2）由点P在直线g（x）=x上，设P（t，t），（t＞0）
由t=(

1

2

)x，得x=-log₂t，∴A（-log₂t，t），
由t=log

1

2

x，得x=(

1

2

)t，B((

1

2

)t，t)．∴|AB|=|(

1

2

)t+log2t|．…（5分）
∵C(t，(

1

2

)t)，D（t，-log₂t），∴|CD|=|(

1

2

)t+log2t|．
∴|AB|=|CD|．…（7分）

点评：本题考查函数的性质及应用，考查了图象交点，距离公式的应用．属于基础题．