Question

19．如图1，平面五边形SABCD中SA=$\frac{{\sqrt{15}}}{2}$，AB=BC=CD=DA=2，∠ABC=$\frac{2π}{3}$，△SAD沿AD折起成．如图2，使顶点S在底面的射影是四边形ABCD的中心O，M为BC上一点，BM=$\frac{1}{2}$．
（1）证明：BC⊥平面SOM；
（2）求四棱锥S-ABMO的体积．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质与余弦定理可得：OM，再利用勾股定理的逆定理可得OM⊥BC，由SO⊥平面ABCD，可得SO⊥BC，即可证明；
（2）由题意及如图2知由SO⊥底面ABCD，SO⊥OA．利用S_ABMO=S_△OAB+S_△OBM，四棱锥S-ABMO的体积=$\frac{1}{3}•{S}_{ABMO}•SO$，即可得出．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为菱形，O为菱形中心，连接OB，
则AO⊥OB，
∵$∠BAD=\frac{π}{3}$，
∴$OB=AB•sin∠OAB=2sin\frac{π}{6}=1$，
又∵$BM=\frac{1}{2}$，且$∠OBM=\frac{π}{3}$，
在△OBM中OM²=OB²+BM²-2OB•BM•cos∠OBM=${1^2}+{（{\frac{1}{2}}）^2}-2×1×\frac{1}{2}×cos\frac{π}{3}=\frac{3}{4}$，
∴OB²=OM²+BM²，故OM⊥BM，即 OM⊥BC，
又顶点S在底面的射影是四边形ABCD的中心O，由SO⊥平面ABCD，
∴SO⊥BC，
从而BC与平面SOM内两条相交直线OM，SO都垂直，
∴BC⊥平面SOM．
（2）解：由（1）可知，$OA=AB•cos∠OAB=2•cos\frac{π}{6}=\sqrt{3}$
由题意及如图2知由SO⊥底面ABCD，SO⊥OA．
∴SO=$\sqrt{S{A}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{\frac{15}{4}-3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
此时S_ABMO=S_△OAB+S_△OBM=$\frac{1}{2}×OA×OB$+$\frac{1}{2}BM•OM$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{8}$．
∴四棱锥S-ABMO的体积=$\frac{1}{3}•{S}_{ABMO}•SO$=$\frac{1}{3}×\frac{5\sqrt{3}}{8}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5}{16}$．

点评 本题考查了菱形的性质与余弦定理、勾股定理的逆定理、线面垂直的判定与性质定理、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．