Question

19．设f（x）=2$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）+3．
（1）求f（x）的最大值及单调递减区间；
（2）若锐角α满足f（α）=3-2$\sqrt{3}$，求tan$\frac{4}{5}$α的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦函数的值域可求函数的最大值，由2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+π，k∈Z即可解得f（x）的单调递减区间．
（2）由已知解得：cos（2α+$\frac{π}{6}$）=-1，由α∈（0，$\frac{π}{2}$），可得2α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），解得α，即可利用特殊角的三角函数值计算得解．

解答 解：（1）∵cos（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴f（x）=2$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）+3的最大值为：2$\sqrt{3}$+3．
由2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+π，k∈Z即可解得f（x）的单调递减区间为：[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（2）∵2$\sqrt{3}$cos（2α+$\frac{π}{6}$）+3=3-2$\sqrt{3}$，解得：cos（2α+$\frac{π}{6}$）=-1．
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），2α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$）．
∴解得：2α+$\frac{π}{6}$=π，可得：α=$\frac{5π}{12}$．
∴tan$\frac{4}{5}$α=tan（$\frac{4}{5}×\frac{5π}{12}$）=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了余弦函数的图象和性质，特殊角的三角函数值的应用，考查了计算能力，属于中档题．