Question

设P：函数y=（2a+1）x+b在实数集上是减函数；Q：不等式|x-1|-|x|＞a恒成立．如果P和Q有且仅有一个正确，求a的取值范围．

Answer 1

分析：根据一次函数的性质得到P为真命题时，a得取值范围，根据不等式恒成立的原则易得到Q为真命题时，a得取值范围，再根据P和Q有且仅有一个正确，由此构造不等式组，解不等式组即可得到答案．

解答：解：P：函数y=（2a+1）x+b在实数集上是减函数?a＜-

1

2

Q：不等式|x-1|-|x|＞a恒成立?f（x）=|x-1|-|x|的最小值＞a
而f(x)=|x-1|-|x|=

-1，x≥1 1-2x，0＜x＜1 1，x≤0

，故f_min（x）=-1，
∴a＜-1
（1）若P正确Q不正确，则

a＜- 1 2 a≥-1

⇒-1≤a＜-

1

2

； 
（2）若P不正确Q正确，则

a≥- 1 2 a＜-1

⇒a∈∅所以a的取值范围为[-1，-

1

2

)

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中求了命题P、Q为真（假）时，c的取值范围是解答本题的关键．