题目内容

已知函数 $数学公式$ 的图象过点 $数学公式$ ，将f（x）的图象向左平移 $数学公式$ 个单位后得到函数y=g（x）图象．
（1）求g（x）的表达式，并求出g（x）的最小正周期；
（2）写出函数g（x）的单调增区间；
（3）求g（x）在 $数学公式$ 上的值域．

解：（1）把点 $\text{[math]}$ 代入函数f（x）的解析式可得 2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ a，∴a=1．
故 $\text{[math]}$ =-2（1+cos2x）+2 $\text{[math]}$ sin2x+2=4（- $\text{[math]}$ cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x）=4sin（2x- $\text{[math]}$ ）．
将f（x）的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位后得到函数y=g（x）=4sin[2（x+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]=4cos（2x- $\text{[math]}$ ）．
故函数y=g（x）的最小正周期等于 $\text{[math]}$ =π．
（2）由 2kπ-π≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ，k∈z，可得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，
故函数g（x）的单调增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（3）由（2）可得g（x）在 $\text{[math]}$ 上单调地增，在 $\text{[math]}$ 上单调递减，
故函数g（x）的最大值为g（ $\text{[math]}$ ）=4cos0=4．
又g（- $\text{[math]}$ ）=4cos（- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=4cos $\text{[math]}$ =-2，g（ $\text{[math]}$ ）=4cos $\text{[math]}$ =0，
故g（x）的值域为[-2，4]．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为4sin（2x- $\text{[math]}$ ），向左平移 $\text{[math]}$ 个单位后得到函数y=g（x）=4cos（2x- $\text{[math]}$ ），由此求得函数y=g（x）的最小正周期．
（2）令2kπ-π≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ，k∈z，解出x的范围，即可得到函数g（x）的单调增区间．
（3）由于g（x）在 $\text{[math]}$ 上单调地增，在 $\text{[math]}$ 上单调递减，故函数g（x）的最大值为g（ $\text{[math]}$ ），最小值为 g（- $\text{[math]}$ ）和g（ $\text{[math]}$ ）中的较小者，从而得到g（x）的值域．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，余弦函数的定义域、值域，属于中档题．