Question

若双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的一个交点在x轴上的射影在抛物线C₂的焦点的右侧，则双曲线C₁的离心率的取值范围是

（1，

5

）

．

Answer 1

分析：先求双曲线渐近线与抛物线的交点横坐标，再利用已知交点在x轴上的射影在抛物线C₂的焦点的右侧，得关于a、b的不等式，进而变换求出离心率的取值范围

解答：解：取双曲线C₁的一条渐近线方程y=

b

a

x，代入抛物线y²=2px得：

b2

a2

×x2=2px，
解得x=0，或x=

2pa2

b2

∵交点在x轴上的射影在抛物线C₂的焦点（

p

2

，0）的右侧
∴

2pa2

b2

＞

p

2

∴b²＜4a²，即c²-a²＜4a²
∴e²＜5，e＜

5

故其离心率e∈（1，

5

）
故答案为（1，

5

）

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其几何性质，抛物线的标准方程及其几何性质，双曲线离心率的取值范围的求法