Question

（2013•蚌埠二模）点A是抛物线C₁：y²=2px（p＞0）与双曲线C₂：

x2

a

-

y2

b

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C₁的准线的距离为p，则双曲线C₂的离心率等于（　　）

• A．

  2

• B．

  3

• C．

  5

• D．

  6

Answer 1

分析：先根据条件求出店A的坐标，再结合点A到抛物线C₁的准线的距离为p；得到

a2

b2

=

1

4

，再代入离心率计算公式即可得到答案．

解答：解：取双曲线的其中一条渐近线：y=

b

a

x，
联立

y2=2px y= b a x

⇒

x= 2pa2 b2 y= 2pa b

；
故A（

2pa2

b2

，

2pa

b

）．
∵点A到抛物线C₁的准线的距离为p，
∴

p

2

+

2pa2

b2

=p；
∴

a2

b2

=

1

4

．
∴双曲线C₂的离心率e=

c

a

=

a2+b2 a2

=

5

．
故选：C．

点评：本题考查双曲线的性质及其方程．双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率e和渐近线的斜率±

b

a

之间有关系e2=1+(±

b

a

)2．