Question

如图，P是平面ABCD外一点，四 边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点，（1）求证平面PDC⊥平面PAD；
（2）求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）可利用PA⊥平面ABCD，证明CD⊥面PAD，从而可证面PDC⊥面PAD；
（2）设H为AD的中点，连EH，则EH∥PA，由PA⊥平面ABCD知EH⊥面ACD，过H作HO⊥AC于O，连EO则EO⊥AC，则∠EOH即为所求．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴CD⊥AD
∵PA⊥平面ABCD
∴CD⊥PA
∵AD与PA是相交直线
∴CD⊥面PAD
∵CD?面PAD
∴面PDC⊥面PAD

（2）设H为AD的中点，连EH，则EH∥PA，由PA⊥平面ABCD知EH⊥面ACD
过H作HO⊥AC于O，连EO则EO⊥AC∴∠EOH即为所求

在Rt△EHO中   而后OH=

2

5

∴OE=

3

5

∴∴cos∠EOH=

2

3

点评：本题以线面垂直为载体，考查面面垂直，考查面面角，关键是正确运用面面垂直的判定定理．