Question

如图所示，为了测量河对岸地面上A，B两点间的距离，某人在河岸边上选取了C，D两点，使得CD⊥AB，且CD=500（米）现测得∠BCD=α，∠BDC=β，∠ACD=60°，其中cosα=

3

5

，tanβ=2．求：
（1）sin∠CBD的值；
（2）A，B两点间的距离（精确到1米）．（参考数据

3

≈1.73）

Answer 1

分析：（1）由α+β+∠CBD=π，得sin∠CBD=sin（α+β），知cosα可求sinα，知tanβ，用同角三角函数的基本关系，可求sinβ，cosβ．
（2）在△BCD中，用正弦定理求出BC，在△ABC中求出sin∠ACB，再利用正弦定理求AB．

解答：解：（1）∵cosα=

3

5

，α为锐角，∴sinα=

4

5

∵tanβ=2，β锐角，∴sinβ=

2

5

，cosβ=

1

5

（3分）
sin∠CBD=sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

4

5

×

1

5

+

3

5

×

2

5

=

2 5

5

（5分）
（2）在△BCD中，由

BC

sinD

=

CD

sin∠CBD

得BC=sinD•

CD

sin∠CBD

=

2

5

•

500

2 5 5

=500（7分）
∴sin∠ACB=sin(600-α)=

3

2

×

3

5

-

1

2

×

4

5

=

3 3 -4

10

（9分）
由AB⊥CD，∠ACD=60°，得∠A=30°（11分）
△ABC中，由

AB

sin∠ACB

=

BC

sinA

，
得AB=sin∠ACB×

BC

sinA

=

3 3 -4

10

×

500

1 2

=300

3

-400≈119（米），
答：A、B两点间距离约为119米．

点评：本题考查解三角形的实际应用，用到两角和的正弦公式，正弦定理等知识，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边．