Question

一次函数r（x）=ax+b的图象过原点，函数h（x）=lnx定义在（1，e）（e为自然对数的底）上．
（Ⅰ）若f（x）=r（x）+h（x）有极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）记函数g（x）=x³-x-2，x∈（1，e），在（Ⅰ）的条件下，证明在函数f（x）图象上任取点A，总能在g（x）图象上找到相应的点B，使A、B连线平行于x轴．

Answer 1

分析：（I）根据图象过原点，得到函数的解析式，对函数求导，令导函数等于0，得到x的值，列出表格写出导函数在各个区间上的单调性，根据有极值做出a的范围．
（II）根据上一问所得的结果，函数有极值，进而做出函数的值域，同理可以做出g（x）的值域，根据两个图象上总存在两点的连线与x 平行，得到两个函数的值域是一个包含关系．

解答：解：（Ⅰ）∵r（x）=ax+b的图象过原点，
∴b=0，∴f（x）=ax+lnx．
求导可得f′(x)=a+

1

x

，
令f′(x)=a+

1

x

=0，可得a=-

1

x

．
∵x∈（1，e），∴-

1

x

∈(-1，-

1

e

)，∴a∈(-1，-

1

e

)．
当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下：

x	(1，- 1 a )	- 1 a	(- 1 a ，e)
f'（x）	+	0	-
f（x）	单调递增	极大值	单调递减

∴实数a的取值范围是（-1，-

1

e

）
（II）由（I）知f（x）有极大值f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）
∵f（1）=a，f（e）=ae+1
∴-1＜

1

1-e

＜-

1

e

当

1

1-e

＜a＜-

1

e

时，函数的值域是[a，-1+ln（-

1

a

）]
同理知g（x）在（1，e）上的值域是（-2，e³-e-2）
e³-e-2＞0，a∈(-1，-

1

e

)，-1+ln(-

1

a

)＜0，
所以e³-e-2＞-1+ln(-

1

a

)，-2＜ae+1，-2＜a，
∴(ae+1， -1+ln(-

1

a

)]⊆（-2，e³-e-2），(a， -1+ln(-

1

a

)]⊆（-2，e³-e-2），
∴?x₁∈（1，e），?x₀∈（1，e），使得g（x₀）=f（x₁）成立．
∴在函数f（x）图象上任取点A，总能在g（x）图象上找到相应的点B，
使A、B连线平行于x轴．

点评：本题考查函数在某一点取得极值的条件，本题解题的关键是得到函数f（x）的值域，针对于两个函数的值域之间的关系要注意理解．