Question

一次函数r（x）=ax+b的图象过原点，函数h（x）=lnx定义在（1，e）（e为自然对数的底）上．
（Ⅰ）若f（x）=r（x）+h（x）有极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）记函数g（x）=x³-x-2，x∈（1，e），在（Ⅰ）的条件下，证明在函数f（x）图象上任取点A，总能在g（x）图象上找到相应的点B，使A、B连线平行于x轴．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据图象过原点，得到函数的解析式，对函数求导，令导函数等于0，得到x的值，列出表格写出导函数在各个区间上的单调性，根据有极值做出a的范围．
（II）根据上一问所得的结果，函数有极值，进而做出函数的值域，同理可以做出g（x）的值域，根据两个图象上总存在两点的连线与x 平行，得到两个函数的值域是一个包含关系．
解答：解：（Ⅰ）∵r（x）=ax+b的图象过原点，
∴b=0，∴f（x）=ax+lnx．
求导可得，
令，可得．
∵x∈（1，e），∴，∴．
当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下：

x
f'（x）	+		-
f（x）	单调递增	极大值	单调递减

∴实数a的取值范围是（-1，-）
（II）由（I）知f（x）有极大值f（-）=-1+ln（-）
∵f（1）=a，f（e）=ae+1
∴-1＜
当时，函数的值域是[a，-1+ln（-）]
同理知g（x）在（1，e）上的值域是（-2，e³-e-2）
e³-e-2＞0，，，
所以e³-e-2＞，-2＜ae+1，-2＜a，
∴（-2，e³-e-2），（-2，e³-e-2），
∴?x₁∈（1，e），?x∈（1，e），使得g（x）=f（x₁）成立．
∴在函数f（x）图象上任取点A，总能在g（x）图象上找到相应的点B，
使A、B连线平行于x轴．
点评：本题考查函数在某一点取得极值的条件，本题解题的关键是得到函数f（x）的值域，针对于两个函数的值域之间的关系要注意理解．