Question

如图，在△ABC中，已知角A，B，C所对的边为a，b，c，且A=30°，cosB=

4

5

．
（1）求cosC的值；
（2）若a=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）先计算sinB，再利用和角的余弦公式，即可求得结论；
（2）利用正弦定理计算b，利用余弦定理计算c，进而利用三角形的面积公式，即可求得结论．

解答：解：（1）由于cosB=

4

5

，B∈(0，π)，则sinB=

1-cos2B

=

3

5

，
又A=30°，故cosC=cos（π-A-B）=-cos（A+B）=-cosA•cosB+sinA•sinB
故cosC=-

3

2

×

4

5

+

1

2

×

3

5

=

3-4 3

10

（2）由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，即b=

asinB

sinA

=

5× 3 5

1 2

=6，即AC=6
又由余弦定理得：a²=b²+c²-2bc•cosA，即25=36+c2-2×6×c×

3

2

，即c2-6

3

c+11=0，
解得c=3

3

±4，又C＞

π

2

，则c＞a=5，故c=3

3

+4
从而S△ABC=

1

2

bc•sinA=

1

2

×6×(3

3

+4)×

1

2

=

9 3 +12

2

点评：本题考查利用正弦、余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，属于中档题．