Question

已知数列中，，且，其前项和为，且当时，．
⑴求证：数列是等比数列；
⑵求数列的通项公式；
⑶若，令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明见解析
（2）
（3）

⑴当时，，
化简得，
又由，可推知对一切正整数均有，
∴数列是等比数列．            ---------------- 4分
⑵由⑴知等比数列的首项为1，公比为，  ∴．
当时，，又，
∴              ----------8分
⑶当时，，此时

，
又，
∴
，
当时，

．
若，则等式为，不是整数，不符合题意．
若，则等式为，
是整数，∴是5的因数．
∴当且仅当时，是整数， ∴
综上所述，当且仅当时，存在正整数，使等式成立．