Question

设函数f(x)=

3

sinxcosx-cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，进而利用周期公式求得函数的最小正周期．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）化简的函数解析式，进而根据x的范围和正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-

1

2

．
T=

2π

2

=π，故f（x）的最小正周期为π．
（Ⅱ）因为0≤x≤

π

2

，
所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

．
所以当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）有最大值

1

2

，
当2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0时，f（x）有最小值-1．

点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，二倍角和两角和公式的化简求值．考查了三角函数基础知识的综合运用．