Question

如图，在六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2。

（1）求证：A₁C₁与AC共面，B₁D₁与BD共面；
（2）求证：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁；
（3）求二面角A-BB₁-C的大小（用反三角函数值圾示）。

Answer 1

解：（1）∵平面，平面 ∴，，平面平面 于是， 设分别为的中点，连结， 有 ∴， 于是 由，得， 故，与共面 过点作平面于点， 则，连结， 于是，， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 所以点O在BD上，故与共面。 （2）证明：∵平面， ∴， 又（正方形的对角线互相垂直）， 与是平面内的两条相交直线， ∴平面 又平面过， ∴平面平面。 （3）解：∵直线DB是直线在平面上的射影，， 根据三垂线定理，有 过点A在平面内作于M，连结， 则平面， 于是， 所以，是二面角的一个平面角 根据勾股定理，有 ∵，有，，， ， ， 二面角的大小为