题目内容

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中 $数学公式$ ）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 $数学公式$ ，且图象上一个最低点为 $数学公式$ ．（1）求f（x）的解析式；（2）当 $数学公式$ ，求f（x）的最值；
（3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于直线 $数学公式$ 对称，求函数g（x）的单调增区间．

解：（1）由最低点为 $\text{[math]}$ 可得A=2．
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即T=π， $\text{[math]}$ ．
由点 $\text{[math]}$ 在图象上的 $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
（2）因为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，所以当 $\text{[math]}$ 时，即x=0时，f（x）取得最小值1； $\text{[math]}$ ．
（3）由题意得 $\text{[math]}$ ，解2kπ-π≤2x≤2kπ，
可得 $\text{[math]}$ ，所以g（x）的单调增区间是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由最低点的坐标求得A=2，根据周期求出ω，把点的坐标代入解析式求出∅，即得函数的解析式．
（2）先求出 $\text{[math]}$ ，故当 $\text{[math]}$ 时，f（x）取得最小值1；f（x）取得最大值 $\text{[math]}$ ．
（3）由题意得 $\text{[math]}$ ，解2kπ-π≤2x≤2kπ可得x的范围，即得g（x）的单调增区间．
点评：本题考查正弦函数的定义域和值域、单调性、周期性，求y=Asin（ωx+∅）的解析式，求函数g（x）的单调增区间，
是解题的难点．