题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA、AB、AD两两互相垂直，BC∥AD，且AB=AD=2BC，E，F分别是PB、PD的中点．
（1）证明：EF∥平面ABCD；
（2）若PA=AB，求PC与平面PAD所成的角．
（1）证明：EF∥平面ABCD；
（2）若PA=AB，求PC与平面PAD所成的角．
（1）证明：连接BD，∵在△PBD中，E，F分别为PB、PD中点，
∴EF∥BD-----（2分）
又EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD----------（6分）
（2）取AD中点G，连接CG、PG．
∵四边行ABCD中，BC∥AD，AD=2BC．
∴CG∥AB-----------（8分）
又∵AB⊥AD，AB⊥AP，AP∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD∴CG⊥平面PAD
∴∠GPC是PC与平面PAD所成的角-------------------（11分）
设PA=2a，则AB=CG=2a，BC=AG=a，AC=
a，∴PC=
=3a
在RT△PGC中，sin∠GPC=
=
=
∴∠GPC=arcsin
即PC与平面PAD所成的角是arcsin
----------------（13分）
∴EF∥BD-----（2分）
又EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD----------（6分）
（2）取AD中点G，连接CG、PG．
∵四边行ABCD中，BC∥AD，AD=2BC．
∴CG∥AB-----------（8分）
又∵AB⊥AD，AB⊥AP，AP∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD∴CG⊥平面PAD
∴∠GPC是PC与平面PAD所成的角-------------------（11分）
设PA=2a，则AB=CG=2a，BC=AG=a，AC=
| 5 |
| PA2+AC2 |
在RT△PGC中，sin∠GPC=
| CG |
| PC |
| 2a |
| 3a |
| 2 |
| 3 |
∴∠GPC=arcsin
| 2 |
| 3 |
即PC与平面PAD所成的角是arcsin
| 2 |
| 3 |
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