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数列{
}中,若
,
(n≥2).求证:
(n∈N).
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答案:
解析:
证 (1)当n=1时,
,结论成立;(2)设当n=k时,结论成立,则
>0,∴
,即n=k+1时,结论成立,∴n∈N时结论成立.
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在数列{a
n
}中,若对于n∈N*,总有
n
k=1
a
k
=2
n
-1,则
n
k=1
a
k
2
=
.
已知函数
f(x)=1+
2
x
,数列{a
n
}中,a
1
=a,a
n+1
=f(a
n
)(n∈N
*
).当a取不同的值时,得到不同的数列{a
n
},如当a=1时,得到无穷数列1,3,
5
3
,
11
5
,…;当a=2时,得到常数列2,2,2,…;当a=-2时,得到有穷数列-2,0.
(Ⅰ)若a
3
=0,求a的值;
(Ⅱ)设数列{b
n
}满足b
1
=-2,b
n
=f(b
n+1
)(n∈N
*
).求证:不论a取{b
n
}中的任何数,都可以得到一个有穷数列{a
n
};
(Ⅲ)若当n≥2时,都有
5
3
<
a
n
<3
,求a的取值范围.
在数列{a
n
}中,若前n项和s
n
满足
s
n
=
3
2
a
n
-3
,则该数列的通项公式a
n
=
.
大家知道,在数列{a
n
}中,若a
n
=n,则s
n
=
1+2+3+…+n=
1
2
n
2
+
1
2
n
,若a
n
=n
2
,则
s
n
=
1
2
+
2
2
+
3
2
+…+
n
2
=
1
3
n
3
+
1
2
n
2
+
1
6
n
,于是,猜想:若a
n
=n
3
,则s
n
=1
3
+2
3
+3
3
+…+n
3
=an
4
+bn
3
+cn
2
+dn.
问:(1)这种猜想,你认为正确吗?
(2)不管猜想是否正确,这个结论是通过什么推理方法得到的?
(3)如果结论正确,请用数学归纳法给予证明.
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