Question

设椭圆（a＞b＞0）经过点，其离心率．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ） 直线交椭圆于A、B两点，且△PAB的面积为，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由经过点P，得，由离心率为得=，再根据a²=b²+c²联立解方程组即可；
（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程消y，得，易知判别式△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦长公式及点到直线的距离公式可表示出△PAB的面积，令其为，即可解出m值，验证是否满足△＞0．
解答：解：（Ⅰ）由已知，得，解得，
故所求椭圆M的方程为．
（Ⅱ）由，得，
由△=，解得-2＜m＜2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以m，x₁x₂=，
所以|AB|=|x₁-x₂|=•=•=•，
又P到AB的距离为d=，
则S_△ABC=|AB|•d=•==，
所以=，m⁴-8m²+16=0，解得m=±2，
显然，故m=±2．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆标准方程的求解，考查弦长公式及点到直线的距离公式，熟记相关公式是解决该类问题的基础．