Question

【题目】如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽为，要求通行车辆限高，隧道全长为，隧道的拱线可近似的看成半个椭圆形状．

（1）若最大拱高为，则隧道设计的拱宽是多少？

（2）若最大拱高不小于，则应如何设计拱高和拱宽，才能使隧道的土方工程量最小？

（注： 1.半个椭圆的面积公式为；2.隧道的土方工程量=截面面积隧道长）

Answer 1

【答案】（1）32；（2）当拱高为，拱宽为时，土方工程量最小．

【解析】

试题分析：本题是椭圆的实际应用题，考查利用椭圆标准方程解应用题．（1）以车道中点为原点，建立直角坐标系，则在椭圆上，这时椭圆方程可设为，由及点坐标可求得椭圆中的，从而得结论；（2）隧道的土方工程量最小即半椭圆的面积最小，即椭圆的面积为最小，利用标准方程及基本不等式可求得的最小值．

试题解析：（1）以车道中点为原点，建立直角坐标系，则，

设椭圆的方程为，则解之得：，

此时．

（2）由，可知，

故，所以，

当且仅当时取等号，

答：当拱高为，拱宽为时，土方工程量最小．