Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=A A₁，∠BA A₁=60°.

（Ⅰ）证明AB⊥A₁C;

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB=2，求直线A₁C 与平面BB₁C₁C所成角的正弦值。

Answer 1

【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推论证能力，是容易题.

【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，，，

∵AB=，=，∴是正三角形，

∴⊥AB，   ∵CA=CB，   ∴CE⊥AB，   ∵=E，∴AB⊥面， 

∴AB⊥；               ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，⊥AB，

又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥，

∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，

有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(－1,0,0),则=（1,0，）,==(－1,0,),=(0,－,),         ……9分

设=是平面的法向量，

则，即，可取=（，1，-1），

∴=，

∴直线A₁C 与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为.       ……12分