Question

在如图所示的几何体中，是边长为2的正三角形，平面ABC，平面平面ABC,BD=CD，且

（I）若AE=2，求证：AC、、平面BDE；

（II）若二面角A—DE—B为60°，求AE的长.

Answer 1

解: （Ⅰ）分别取 的中点,连接,

则∥,∥,且

因为，,为的中点,

所以,

又因为平面⊥平面,

所以平面      ……………2分

又平面,

所以∥      ……………………4分

所以∥，且,因此四边形为平行四边形，

所以∥,所以∥，又平面，平面，

所以∥平面.……………………6分

（或者建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，计算即证）

（Ⅱ）解法一:

过作的延长线于,连接.

因为,,

所以平面,平面

则有.

所以平面,平面,

所以.

所以为二面角的平面角，

即.           ……………………9分

在中，，则 ,.

在中，.

设，则,所以，又

在中,,即=

解得，所以 ………………12分

解法二:

由（Ⅰ）知平面，,

建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则,,

,，

,.

设平面的法向量

则                  所以

令,  所以                  ……………………9分

又平面的法向量

所以

解得, 即                  ……………………12分