Question

（2012•东莞一模）已知函数f（x）=log₃（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记an=3 ^f（n），n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

an

2n

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＜m（m∈Z）对n∈N^*恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意得

log3(2a+b)=1 log3(5a+b)=2

，解方程可求a，b，根据所求求f（x）可求a_n
（2）由（1）可求bn=

2n-1

2n

，利用错位相减求和可求T_n，结合其单调性可求T_n的范围，然后由T_n＜m（m∈Z）恒成立，可求满足题意的m的最小值

解答：（本题满分14分）
解：（1）由题意得

log3(2a+b)=1 log3(5a+b)=2

，解得

a=2 b=-1

，…（3分）
∴f（x）=log₃（2x-1）
∴an=3log3(2n-1)=2n-1，n∈N*…（6分）
（2）由（1）得bn=

2n-1

2n

，
∴Tn=

1

21

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

①

1

2

Tn= 

1

22

+

3

23

+…+

2n-5

2n-1

+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

②
两式相减可得

1 2 Tn= 1 21 + 2 22 + 2 23 +…+ 2 2n-1 + 2 2n - 2n-1 2n+1 = 1 21 +( 1 21 + 1 22 +…+ 1 2n-2 + 1 2n-1 )- 2n-1 2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

．
∴Tn=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

，…（10分）
设f(n)=

2n+3

2n

，n∈N*，则由

f(n+1)

f(n)

=

2n+5 2n+1

2n+3 2n

=

2n+5

2(2n+3)

=

1

2

+

1

2n+3

≤

1

2

+

1

5

＜1
得f(n)=

2n+3

2n

，n∈N*随n的增大而减小，T_n随n的增大而增大．
∴当n→+∞时，T_n→3
又T_n＜m（m∈Z）恒成立，∴m_min=3…（14分）

点评：本题主要考查了利用已知函数解析式求解函数值及数列的错位相减求和方法的应用，数列的单调性在数列的取值范围求解中的应用．