Question

2．已知曲线C：ax²-xy+b=0在点P（2，t）处的切线l的方程5x-y-6=0．
（1）求a，b的值；
（2）求证：曲线C上各点处的切线斜率总不小于$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 （1）把已知曲线方程变形，得到y=$ax+\frac{b}{x}$，求导后利用函数在x=2时的导数值等于切线的斜率，以及在x=2时曲线上点和切线上点的函数值相等列式求得a，b的值；
（2）直接由（1）中的导数得答案．

解答 （1）解：由C：ax²-xy+b=0，得y=$ax+\frac{b}{x}$，
∴y′=a-$\frac{b}{{x}^{2}}$，则y′|_x=2=a-$\frac{b}{4}$，
∵曲线C：ax²-xy+b=0在点P（2，t）处的切线l的方程5x-y-6=0，
∴a-$\frac{b}{4}=5$①，
再由x=2时曲线上点的函数值域直线上点的函数值相等，得$2a+\frac{b}{2}=4$②，
解得：$a=\frac{7}{2}，b=-6$；
（2）证明：由（1）知，y′=$\frac{7}{2}+\frac{6}{{x}^{2}}≥\frac{7}{2}$．
∴曲线C上各点处的切线斜率总不小于$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．