Question

（本小题满分13分）
已知椭圆和抛物线有公共焦点F(1,0), 的中心和的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线与抛物线分别相交于A,B两点.
（Ⅰ）写出抛物线的标准方程；
（Ⅱ）若，求直线的方程；
（Ⅲ）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值.

Answer 1

（1）（2）或（3）

（Ⅰ）由题意，抛物线的方程为：，                                 …………2分
（Ⅱ）设直线的方程为：.

联立，消去，得，                    ……………3分
显然，设，
则                  ①
        ②                                     …………………4分
又，所以     ③                                        …………………5分
由①②③消去，得   ，              
故直线的方程为或 .                             …………………6分
（Ⅲ）设，则中点为，因为两点关于直线对称，
所以，即，解之得，                         …………………8分
将其代入抛物线方程，得：
，所以，.                                               ………………………9分
联立，消去，得：
.                                          ………………………10分
由，得
，即，                                 …………………12分
将，代入上式并化简，得
，所以，即，   
因此，椭圆长轴长的最小值为.                                          ………………………13分