题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ 的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为K_PM、K_PN，当 $数学公式$ 时，则椭圆方程为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：由长轴长易求a值，设P（x₀，y₀），直线l方程为y=kx，M（x₁，kx₁），N（-x₁，-kx₁），由 $\text{[math]}$ 可得一等式，再由P在椭圆上可得一等式，由两式可消去y₀，由P为椭圆任意点可知该式与x₀无关，由此可求得b值．
解答：由长轴长为4得2a=4，解得a=2，
设P（x₀，y₀），直线l方程为y=kx，M（x₁，kx₁），N（-x₁，-kx₁），
则K_PM= $\text{[math]}$ ，K_PN= $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 得， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ =（4k²+1） $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ①，
又P在椭圆上，所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，代入①式得4b²- $\text{[math]}$ =（4k²+1） $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
所以4b²=（4k²+1） $\text{[math]}$ +（b²-1） $\text{[math]}$ ，
因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与x₀无关，
所以b²-1=0，解得b=1，
所以所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
故选D．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查恒成立问题，解决本题的关键是正确理解“点P的任意性”，难度较大．