Question

已知函数

（1）若函数在上有极值点，求实数的范围．

（2）求证：时，

 

Answer 1

（1）（1,2）；（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）先求出的导数，求出的单调区间，找出的极值点，让的极值点在，列出关于的不等式，从而求出的取值范围；

（2）构造函数，利用导数的运算法则求出的导函数，可判定当时，的导函数恒大于0，所以在（1，+）上是增函数，所以当时，＞＞0，从而证明原不等式成立.

试题解析：(1)， 2分

当时，；当时，

故在单增，在上单减 4分

若函数在上有极值点

须解得

故实数的范围是 6分

(2)证明：证法一：设，则

， 7分

求导化简得， 9分

11分

在上单增，故 13分

时， 14分

证法二:令

则， 令，则

当时，故在单增 8分

故，故在上单增，故 10分

令，则，当时

故在上单增，故 12分

13分

时，时， 14分

考点:常见函数的导数；导数的运算法；导数与函数单调性关系；导数与函数极值关系；利用导数证明不等式；运算求解能力